关于微积分的重建，我们已经看到了如何在ε-δ定义的新极限下重新定义了积分和微分，也看到了在这种新的定义下，积分和微分的概念跟以前有什么不同。沿着这条路，我们还能非常严格的证明微积分基本定理，也能很好地处理连续性、可微性、可导性、可积性等问题。虽然在具体的计算方式上跟以前的差别不大，但是微积分的这个逻辑基础已经跟以前发生了翻天覆地的变化，这个差别大家要仔细体会。

　　在魏尔斯特拉斯给出极限的ε-δ定义之后，微积分的逻辑问题基本上解决了，但还有一些其它的问题。比如，有了微积分，数学家们当然就希望尽可能多的函数是可以求出积分的，但是你像来砸场子的狄利克雷函数（x为有理数的时候值为1，x为无理数的时候值为0）就没法这样求积分。

　　不信你想想，一个在有理数为1，无理数为0的函数你要怎么去切块？它在任何一个地方都是不连续的，你甚至连它的图像都画不出来，怎么用矩形去逼近？所以，这里就有一个棘手的问题：一个函数到底要满足什么条件才是可以求积分的呢？

　　这个问题一直拖到20世纪初才由大神勒贝格解决。勒贝格把我们常见的长度、面积概念做了一个扩展，得到了更一般的测度的概念。然后，他基于这种测度定义了适用范围更广的勒贝格积分，于是，原来无法求积分的狄利克雷函数在勒贝格积分下就可以求积分了。然后，勒贝格基于测度的理论也给出了一个函数是否可积的判断条件，完美收官！

　　于是，我们这段跨越两千多年，从阿基米德到勒贝格的微积分之旅就要告一段落了。